Uppgift 1

Denna uppgift kan ge maximalt 60 poäng.

Filen FR CMR GDP.csv innehåller semikolon-separerad data där kolumnerna i tur och ordning innehåller:

Landets namn
Landskod
Fertilitetsgrad (barn per kvinna)
Barndödlighet (under 5 år)
Befolkning
Total BNP i 1000-tals US dollar för landet (alltså om värdet är 1000 så är total BNP 1 miljon US dollar)
Världsdel

Du ska skriva kod som:

Läser in data från filen och skapar en "scatter-plot" där varje cirkelskiva representerar ett land och som uppfyller följande:

Värdena på x-axeln är BNP/capita (alltså BNP per person)
Värdena på y-axeln är fertilitetsgraden
Storleken på cirklarna är 10 gånger barndödligheten
Färgen på cirklarna visar vilken av de 6 världsdelarna landet ligger i
Sverige ska ha en egen färg (för full poäng så ska Sverige identifieras med kod)
Skalan på x-axeln ska vara logaritmisk med bas 10
Axlarna ska ha lämplig text och det ska också finnas en titel
Gränserna på y-axeln ska vara från 0 till 8.

Uppgift 2

Denna uppgift kan ge maximalt 40 poäng. Den inleds med definitionen av några matematiska begrepp. Du behöver inte förstå allt detta för att kunna göra början av uppgiften, så ge inte upp om texten känns svår.

Låt $LaTeX: P=\{p(x): p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \}$ vara mängden av alla polynom av grad högst tre. Man kan definiera en så kallad inre produkt $LaTeX: \left< p,q \right>$ på genom att säga att om $LaTeX: p(x) \text{ och } q(x)$ är två polynom så är den inre produkten mellan dem

$LaTeX: \left< p,q \right> = \int_{0}^{1}p(x)\cdot q(x) \,dx$ .

T.ex. så får vi att

$LaTeX: \left< x, 1+x \right> = \int_{0}^{1}x\cdot (1+x) \,dx= \int_{0}^{1} (x + x^2)\,dx =\left[x^2/2+x^3/3\right]_0^1 =1/2+1/3= 5/6.$

Man kan också definiera längden av ett polynom som $LaTeX: ||p|| = \sqrt{\left< p,p \right>}$ så vi får också att kvadraten av längden uppfyller att $LaTeX: ||p||^2 = \left< p,p \right>$ . T.ex. så får vi att $LaTeX: || 1+x ||^2 = \left< 1+x, 1+x \right> = \int_{0}^{1}(1+x)\cdot (1+x) \,dx= \int_{0}^{1} (1+ 2x + x^2)\,dx =\left[x+x^2+x^3/3\right]_0^1 =1+1+1/3= 7/3.$

Man säger att två polynom är ortogonala om den inre produkten mellan dem är lika med 0. T.ex. så är $LaTeX: p(x)=1 \text{ och } q(x)=-1+2x$ ortogonala eftersom

$LaTeX: \left< 1, -1+2x \right> = \int_{0}^{1}1\cdot (-1+2x) \,dx= \int_{0}^{1} (-1 + 2x)\,dx =\left[-x +x^2\right]_0^1 =-1+1= 0.$

Varje polynom LaTeX: p(x) av grad högst 3 kan skrivas som en unik linjärkombination av polynomen $LaTeX: 1,\,x,\,x^2 \text{ och } x^3$ i meningen att $LaTeX: p(x)= a_0\cdot 1+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3$ där koefficienterna LaTeX: [a_0,a_1,a_2,a_3] framför dessa är unikt bestämda. Man kallar då $LaTeX: [1,\,x,\,x^2,\,x^3]$ för en bas för . Om man skulle hitta fyra polynom som är en bas (dvs varje polynom kan skrivas som en unik linjärkombination av dessa) och som dessutom är sådana att de är parvis ortogonala så säger man att det är en ortogonal bas. Om LaTeX: [b_0(x), b_1(x), b_2(x), b_3(x)] utgör en ortogonal bas så kan ett polynom skrivas som $LaTeX: p(x) = a_0\cdot b_0(x) + a_1\cdot b_1(x) + a_2\cdot b_2(x) + a_3\cdot b_3(x)$ och man kan visa att koefficienterna LaTeX: [a_0, a_1,a_2,a_3] kan beräknas genom

$LaTeX: a_i =\frac{ \left< p, b_i \right>}{ ||b_i||^2 }\text{ för } i=0,1,2,3.$

Du ska nu göra klart koden nedan genom att göra klart funktionerna som ska användas för att beräkna det som beskrivits ovan och som anges i kommentarerna i koden. Vi representerar ett polynom, precis som vi gjorde på två av laborationerna, som en lista av koefficienterna där vi startar med konstanten så t.ex. representeras LaTeX: p(x)=1-2x av listan [1, -2] och LaTeX: q(x)=x^2 av [0, 0, 1].

# Returnerar produkten av polynomen som ges av l1 och l2
def multiply(l1, l2):

# Returnerar en primtiv funktion av polynomet som ges av l1
def primitive(l1):

# Returnerar värdet av integralen från 0 till 1 av polynomet som ges av l1
def integratevalue(l1):

# Returnerar den inre produkten mellan polynomen som ges av l1 och l2
def innerproduct(l1, l2):

# Returnerar längden av polynomet som ges av l1
def length(l1):

# Returnerar True om och endast om polynomen som ges av l1 och l2 är ortogonala
def isorthogonal(l1, l2):

# Returnerar koefficienterna i basen basis för polynomet som ges av l1
def coefficients(l1, basis):

# Följande fyra polynom utgör tillsammans en ortogonal bas
pol1 = [1]
pol2 = [-1,2]
pol3 = [1,-6,6]
pol4 = [-1, 12, -30, 20]
basis = [pol1, pol2, pol3, pol4]

# Körning av följande kod visar att de fyra polynomen i basis är parvis ortogonala
for # FYLL I KOD här så att den lever upp till kommentaren på raden ovan

'''
Dessa fyra polynom kan användas för att kontrollera funktionerna ni skrivit.
En primitiv funktion till pol2 är [0, -1, 1].
Integrerar man pol2 från 0 till 1 så får man 0.
Om man tar två olika av dem så är de ortogonala så inre produkten ska
bli 0 och därmed ska isorthogonal returnera True.
Längden i kvadrat är i ordning 1, 1/3, 1/5 och 1/7.
Koefficienterna för dem ska vara [1,0,0,0], [0,1,0,0],[0,0,1,0] respektive
[0,0,0,1] (med reservation för små räknefel som skulle kunna uppstår)
i basen [pol1, pol2, pol3, pol4].
'''